II. RESEÑAS
11.
Matemáticas para el análisis económico
Emilio Cerdá Tena
NO SON libros de Economía, ni siquiera
libros de Economía Matemática, se
trata de dos libros de Matemáticas. Los
autores dicen que los lectores ya aprenderán
Economía en otros cursos, apoyados
en otros libros, y que considerarán cumplido
el objetivo si los lectores, a la hora de
seguir tales cursos, pueden concentrarse
exclusivamente en la Economía, sin preocuparse
del instrumental matemático que
contienen, porque ya lo han aprendido previamente
en estos libros de Matemáticas.
Los dos libros contienen muchos ejemplos,
problemas y ejercicios, así como aplicaciones,
sacados del análisis económico y de la
economía aplicada con dos objetivos concretos:
motivar al lector y ayudarle a que se
forme y ejercite en la intuición y modelización
matemática.
Para aprender Matemáticas, hay que
practicar mucho resolviendo problemas, no
hay otra forma. Esto lo tienen muy claro los
autores de estos libros, que en cada apartado
incorporan ejercicios resueltos y presentan
un conjunto de problemas propuestos,
al igual que al final de cada capítulo. En
muchos casos, los últimos problemas de la
correspondiente sección llevan el rótulo
de "problemas más difíciles". No hay ninguna
parte ni ningún aspecto del contenido
del programa que se quede sin su dosis
de ejercicios. Al final de cada libro aparecen
indicaciones acerca de la resolución,
no sólo la respuesta, de los problemas con
número impar.
Los libros están escritos con rigor matemático.
Se da mucha importancia al razonamiento
matemático. No se presentan
todas las demostraciones de los teoremas
y propiedades, siendo adecuada la selección
de las mismas. Los conceptos y resultados
fundamentales aparecen en recuadros.
Algunas partes más difíciles y áridas
están escritas con letra más pequeña, pudiendo
saltarlas el lector con menor necesidad
de profundizar, ya que no impiden
el seguimiento del resto del contenido.
Se empieza con contenidos muy elementales,
avanzando paulatinamente en el
nivel de dificultad de manera muy gradual.
Ello tiene lugar tanto en el conjunto
de los dos libros como en cada uno de los
capítulos. La selección de temas es muy
adecuada, así como los contenidos específicos
de cada una de las partes. Todo lo
que se estudia se utiliza en Economía.
Los libros están escritos con gran sentido
pedagógico. Se consigue una presentación
muy ágil, sin rebajar el nivel. Se
evitan los formalismos matemáticos innecesarios.
Se consigue un buen equilibrio,
teniendo en cuenta motivación, rigor, explicación,
aplicación e importancia.
A continuación se presentan comentarios
específicos para cada uno de los dos
libros:
1) Essential Mathematics for Economic
Analysis
Como los propios autores indican en el
prólogo, el libro es una versión actualizada,
revisada y condensada de la obra de los
mismos autores Mathematics for Economic
Análisis (Sydsaeter y Hammond, 1995), obra
que tuvo gran aceptación a escala internacional,
como demuestra el hecho de que
fuera traducida al alemán, húngaro, italiano,
portugués, turco y español (Sydsaeter y
Hammond, 1996). Este libro compitió a nivel
internacional con el de Alpha C. Chiang,
que se había publicado, en su primera edición,
en 1967, y cuya tercera edición es de
1984 (1987 en español) (Chiang, 1984;
1987), y con una cuarta edición de 2004,
realizada conjuntamente con Kevin Wainwright,
quien ha actualizado la teoría y las
aplicaciones manteniendo el estilo y la presentación
de Chiang (Chiang y Wainwright,
2004).
El libro responde perfectamente al currículum
de los autores: Knut Sydsaeter es
profesor de Matemáticas en el Departamento
de Economía de la Universidad de
Oslo, y ha impartido durante muchos años
cursos de Matemáticas a estudiantes de
Economía en la Universidad de Oslo. También
ha impartido clases de Optimización
Dinámica en las universidades de Berkeley
y Goteborg. En los últimos años ha viajado
por diversas universidades africanas,
colaborando en la formación de profesores
de Matemáticas para economistas. Anteriormente
había publicado algunos libros en
idioma noruego y uno (excelente) en inglés
(Sydsaeter, 1981). Su campo específico
de especialización es la teoría del control
óptimo, donde tiene muy buenos artículos
publicados. Peter J. Hammond es profesor
de Economía en la Universidad de Stanford,
a donde llegó en 1979 procedente de
la Universidad de Essex. Es licenciado en
Matemáticas y doctor en Economía por la
Universidad de Cambridge. Ha impartido
cursos tanto de Matemáticas para Economistas
como de diferentes materias de Economía.
Ha utilizado las matemáticas en
sus numerosos trabajos de investigación
en Economía (Economía Pública, Equilibrio
General y Economía Matemática, Elección
Social y Teoría de Juegos). Es uno de
los editores de los dos volúmenes del Handbook
of Utility Theory, Barberá, Hammond y
Seidl, 1998; 2004). El profesor Hammond
tiene mucha experiencia en la utilización
de instrumentos matemáticos en diferentes
líneas de investigación dentro del Análisis
Económico. Los dos autores se complementan
perfectamente, formando un equipo
excelente.
Los tres primeros capítulos contienen
diferentes y variados apartados muy elementales,
como potencias, reglas algebraicas,
ecuaciones, desigualdades, factorizaciones,
fracciones, teoría de conjuntos,
tipos de demostración matemática, lógica,
notación de sumas y de productos, etc.
Los capítulos 4 al 10 contienen temas de
Análisis Matemático de una variable, incluyendo
cálculo diferencial, cálculo integral
y optimización. El capítulo 10 aplica
lo anterior a tipos de interés y valores presentes.
Los capítulos 11 a 14 tratan sobre
funciones de varias variables: cálculo diferencial
los capítulos 11 y 12 y optimización
los capítulos 13 y 14. Los capítulos
15 y 16 contienen Álgebra lineal: sistemas
de ecuaciones lineales, matrices y determinantes,
rectas y planos. Por último el
capítulo 16 trata de programación lineal,
insistiendo en los aspectos de dualidad y
de holgura complementaria y sin preocuparse
de algoritmos.
2) Further Mathematics for Economic Análisis
Este libro contiene algunos de los capítulos
(revisados y ampliados) del libro
Mathematics for Economic Análisis, que no se
han incorporado al Essential, y otros capítulos
nuevos.
Para este trabajo se han incorporado
otros dos autores, ambos matemáticos, profesores
de Economía en la Universidad de
Oslo. Atle Seierstad está especializado en
control óptimo determinista y en control
estocástico, habiendo publicado muchos
artículos en estas líneas de investigación.
Es el primer autor de un excelente libro,
muy conocido y utilizado (Seierstad y
Sydsaeter, 1987). La teoría de control tiene
mucha importancia en este volumen, ya
que hay cuatro capítulos sobre el tema, que
suponen aproximadamente la cuarta parte
del libro. Arne Strom es uno de los autores
del Economists’ Mathematical Manual
(Sydsater, Strom y Berck, 2005), libro que
ha sido traducido a muchos idiomas, entre
ellos al chino y al japonés. Además es autor
de once artículos, publicados en diferentes
revistas de Matemáticas.
Los autores indican en el prólogo que
este libro tiene muchas referencias al Essential,
si bien ello no supone un pre-requisito,
ya que cualquier persona que tenga
unos conocimientos básicos de Álgebra lineal y de Análisis Matemático puede seguirlo
sin problemas.
El capítulo 1 trata sobre Álgebra lineal,
destacando autovalores y autovectores,
diagonalización de matrices y formas cuadráticas
(sin restricciones y con restricciones
lineales). El capítulo 2 contiene cálculo
de varias variables, como convexidad y
concavidad, cuasiconvexidad y cuasiconcavidad,
fórmula de Taylor, funciones definidas
implícitamente o vectores gradiente.
En el capítulo 3 se estudian problemas
de optimización estática sin restricciones,
con restricciones de igualdad y con restricciones
de desigualdad. El capítulo 4 trata
sobre integración: la fórmula de Leibniz,
integrales eulerianas e integrales múltiples.
Los capítulos 5, 6, 7 y 11 tratan sobre
sistemas dinámicos: los tres primeros en
tiempo continuo (ecuaciones diferenciales
de primer y segundo orden y sistemas),
el último en tiempo discreto (ecuaciones
en diferencias finitas). Los capítulos 8, 9, 10
y 12 estudian distintos problemas de optimización
dinámica (en tiempo continuo
los tres primeros, en tiempo discreto el último).
El capítulo 13 trata sobre topología
y teoremas de separación. En el capítulo
14 se estudian correspondencias y puntos
fijos: continuidad de correspondencias, teorema
del máximo y teoremas de la aplicación
contractiva, de Brouwer y de Kakutani,
con una aplicación al equilibrio general en
una economía de intercambio puro. El libro
termina con un apéndice A, sobre
conjuntos, completitud y convergencia, y
un apéndice B, sobre funciones trigonométricas.
El bloque dinámico (sistemas dinámicos
y optimización dinámica) constituye
el núcleo fundamental del libro. El orden
que se ha elegido tiene su lógica: sistemas
dinámicos en tiempo continuo, seguido de
optimización dinámica en tiempo continuo,
y posteriormente la misma secuencia
para el caso de tiempo discreto. En el libro
Mathematics for Economic Análisis se dedicaban
los dos últimos capítulos a los sistemas dinámicos (ecuaciones en diferencias
y ecuaciones diferenciales de primer y segundo
orden), que no se han incluido en
el Essential, en el que hay sólo una pequeña
introducción a las ecuaciones diferenciales
de primer orden en el último apartado
del capítulo sobre integración.
En cuanto a sistemas dinámicos, en la
parte correspondiente a tiempo continuo,
se estudian ecuaciones diferenciales de orden
uno, de orden dos y de orden n, sistemas
de n ecuaciones lineales de primer
orden, introducción a los sistemas no lineales,
existencia y unicidad de soluciones,
análisis cualitativo, estabilidad, diagrama
de fases y una introducción a las
ecuaciones en derivadas parciales. Hay
muchas aplicaciones a distintos problemas
económicos. En la parte correspondiente
al tiempo discreto se estudian
ecuaciones en diferencias de orden uno,
de orden dos y de orden n, sistemas de n
ecuaciones lineales de primer orden, introducción
a los sistemas no lineales y estabilidad,
habiendo muchos ejercicios matemáticos
y algunos correspondientes a
modelos económicos.
Como ya se ha comentado anteriormente,
Seierstad y Sydsaeter son reconocidos
especialistas en optimización dinámica,
por lo que los cuatro capítulos del
libro sobre este campo tienen garantía de
calidad. Esta parte no se estudiaba en el
libro de 1995. El primer capítulo sobre el
tema se refiere al cálculo de variaciones,
en el que se estudia con mucho detalle y
rigor la ecuación de Euler. Se estudian
también diferentes condiciones de transversalidad,
pero no están las condiciones
de segundo orden ni condiciones suficientes.
Hay dos capítulos dedicados al problema
del control óptimo en tiempo continuo.
Se estudia el principio del máximo
de Pontryagin y las condiciones suficientes
de Arrow y de Mangasarian. Se estudia
la existencia de solución óptima. Se
considera también el caso de horizonte
temporal infinito y el estudio mediante
diagrama de fases. Hay algunas aplicaciones
económicas. Para resolver el problema
de control óptimo en tiempo discreto, se
presenta la programación dinámica, la
ecuación de Euler y la versión correspondiente
del principio del máximo. Se estudia
también el problema estocástico para
tiempo discreto, que se resuelve mediante
programación dinámica. Se considera
asimismo el caso de horizonte temporal
infinito. Hay además algunas aplicaciones
económicas.